CASO X - Divisores binómicos

DIVISORES BINOMICOS

Empleando el método de los divisores binomios: En este

método, para factorizar un polinomio que se supone 

resulta de multiplicar entre sí varios binomios de la forma 

x ± a, x ± b , x ±c , etc., se busca sus divisores, aplicando la 

propiedad del residuo de la división, y se indica el producto 

de todos los factores así hallados.

- Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles ceros, estarán dados por lños divisores del término independiente con su doble signo.

* Procedimiento para factorizar:

1º Determinar los ceros del polinomio.

2º Luego; debemos deducir el factor que da lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad algebraica: Si el polinomio P(X) se anula para x = a ó P(a) = 0, entonces dicho tendrá un factor (x-a).

3º Finalmente el otro factor lo determinamos usando el método de Rufino, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado (cuarto grado; para poder aplicar el aspa doble que es sencillo de factorizar).

Ejemplo:

• x³ - 10x² + 23x - 14.
• Los divisores de -14 son: ± 1, ± 2, ± 7, ± 14.
• Los divisores binomios que hay que comprobar son:

• x + 1, x - 1, x + 2, x - 2, x + 7, x - 7, x + 14, x - 14.
• P(-1) = - 1 - 10 - 23 - 14 = - 48,
  P(1) = 1 - 10 + 23 - 14 = 0,
  P(-2) = - 8 - 40 - 46 - 14 = - 108,
  P(2) = 8 - 40 + 46 - 14 = 0,
  P(-7) = - 343 - 490 - 161 - 14 = - 1008,
  P(7) = 343 - 490 + 161 - 14 = 0,
  P(-14) = - 2744 - 1960 - 322 - 14 = - 5040,
  P(14) = 2744 - 1960 + 322 - 14 = 1092.

La factorización es, pues, como sigue:

Rpta: x³ - 10x² + 23x - 14 = (x - 1)(x - 2)(x - 7).

Aplicando el método de Horner:

Procedimiento:

1.- Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo.

2.- Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.

3.- El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.

4.- Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.

5.- Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.

6.- Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.

7.- Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.

8.- Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.

Ejemplo:

Dividir 8x⁴ -10x³ +15x² - 12x + 6 entre 4x² - 3x +2

Método de Rufini: La regla de Rufini se utiliza fundamentalmente cuando el polinomio dividendo tiene como única letra (variable) la x y el ya citado divisor (x - a). Utiliza los coeficientes del dividendo y el valor de "a", obteniéndose los coeficientes del polinomio cociente y el valor del resto (obsérvese que el resto siempre será un número), disponiéndose en la forma que se muestra en la escena siguiente que presenta la división:

Ejemplo:

(x³ + x² - x - 1) : (x - 2)